Coseno como razón y como función.

Espero que se entienda, si tienen dudas: moisesv6mtz@gmail.com

Para que se entiendan los conceptos que voy a definir a continuación usaré un lenguaje impreciso, que una vez entendido el concepto, se puede ir a la definición correcta, para obtener el conocimiento adecuado.

Una razón matemática es una simple división, que nos sirve para comparar dos cantidades. Por ejemplo: Si un atleta (A), corre los 100 metros en 9 segundos y otro atleta (B), corre los 100 metros en 8 segundos entonces:

 9/8 = 1.13

 Si tomamos el tiempo menor como el 100%, entonces el atleta B corre un 13% más rápido que el atleta A.

Otro ejemplo: Un trabajador gana en una jornada laboral $800 y gasta $400 ¿Cuál es la razón de sus ganancias contra sus gastos?

800 / 400 = 2

Si 400 es el 100% entonces el trabajador ganó el 100%.

Para el estudio de los triángulos rectángulos (triángulo que tiene un ángulo de 90°), generalmente se establecen las siguientes convenciones:

La hipotenusa será siempre el lado opuesto al ángulo de 90°.

El ángulo conocido se representa con α y el ángulo desconocido con β o Φ.

El cateto adyacente será siempre el cateto junto a α.

Si α estuviera en el punto B de la siguiente figura el cateto adyacente sería la recta entre B y C.

Los matemáticos antigüos descubrieron que había razones matemáticas que se repetían o eran muy similares sin importar el tamaño de una figura geométrica. Por ejemplo: el número pi (π) 3.1416, es la razón entre el perímetro de un círculo y su diámetro; es constante sin importar el tamaño del círculo.

La razón del perímetro y el diámetro de estos círculos es la misma = 3.1416

Algo similar ocurre con las razones trigonométricas: seno coseno tangente etc… Para un ángulo α dado, las funciones trigonométricas dan un valor similar sin importar el tamaño del triángulo.

Coseno = Cateto adyacente / Hipotenusa = ca / h.

De las dos figuras anteriores, suponiendo que α vale 53°. Para el triángulo mayor h = 16.6 y ca = 10 entonces:

Coseno = 10 / 16.6 = 0.602

Para el triángulo menor h = 12 y ca = 7.2 entonces:

Coseno = 7.2 / 12 = 0.600

Observamos que la razón coseno es muy similar sin importar el tamaño de la figura, la razón coseno sólo variará significativamente si variamos el ángulo α

.

Una función en matemáticas resulta de asociar todo el conjunto de valores que resultan de calcular cualquier expresión matemática. Por ejemplo, si tenemos x + 5 la función resultante será todo el conjunto de valores que resultan de calcular la expresión matemática:

Si x =	Función de x = f(x)
1	6
2	7
3	8
4	9

    

Si dibujamos esto valores en el plano cartesiano tenemos una línea recta:

Función coseno.

En la siguiente figura vemos lo siguiente:

El ángulo α se forma en el vértice del eje X y el eje Y.

El cateto adyacente estará en el eje X.

La hipotenusa será igual al radio de la circunferencia que en este caso vale 1.

Entonces el coseno será igual a:

Coseno = ca / h                    como          ca = x              y                h = 1

Coseno = x, es decir el coseno es igual la longitud del eje X.

También observamos que el coseno varía de acuerdo al ángulo:

Si el ángulo = 90° el coseno = 0

Si el ángulo = 180° el coseno = -1

Si el ángulo = 270° el coseno = 0

Si el ángulo = 360° el coseno = 1

Ahora recordemos que el perímetro de una circunferencia tiene 360° que es igual a 2 πr donde r = radianes.

Un radián es la unidad de medida de un ángulo, que es el radio de la circunferencia (verde) proyectado como arco de circunferencia (rojo). La utilidad del concepto de radián es poder proyectar ángulos infinitos, es decir, a más de 360°.

Entonces: 360° = 2π  270° = (3/4) * 2π = 1.5π  180° = (1/2) * 2 π = π     90° = (1/4) * 2 π = 0.5 π       

                                      

Ahora ya podemos graficar la función coseno (conjunto de valores de la razón coseno), tomando como referencia una circunferencia de radio = 1.

En el eje X estarán los ángulos medidos en radianes y en el eje Y en valor de la función coseno para cada valor:

Cuando:

X = 0                y = 1

X = 0.5π          y = 0

X = π                y = -1

X = 1.5π          y = 0

X = 2π              y = 1

La importancia de una función, radica en que podemos simular fenómenos del mundo real. Por ejemplo con la función seno podemos simular la energía eléctrica alterna y todas las aplicaciones que tiene en electricidad y electrónica